Что такое обратная геодезическая задача и как ее решить?

Алгоритм решения обратной геодезической задачи

Один из таких алгоритмов — алгоритм Винчестера — широко применяется в геодезии и космической геодезии. Он основан на теореме косинусов и позволяет с высокой точностью находить координаты исходной точки.

Алгоритм Винчестера состоит из следующих шагов:

Задать начальное приближение для координат исходной точки.
Вычислить расстояние между начальным приближением и известными точками.
Используя полученные расстояния и известные координаты, вычислить углы между известными точками и искомой точкой.
На основе вычисленных углов и известных координат, определить координаты искомой точки с помощью тригонометрических соотношений.

Алгоритм Винчестера применяется в различных геодезических приложениях, таких как определение местоположения спутников, навигация и картография. Он позволяет получить точные результаты и учитывает сложность геодезической задачи.

1.4.5. Определение крутизны ската заданной линии

Крутизна ската по направлению линии определяется двумя показателями – уклоном и углом наклона (см. рис. 13).

Рис. 13. Определение крутизны ската линии

Уклоном линии называется тангенс угла наклона линии к горизонту. Он определяется как отношение превышения hAB к горизонтальному проложению SAB. Уклон может быть положительным или отрицательным, его выражают в тысячных – промиллях (‰) или в процентах (%). Например: i = 0,020 = 20 ‰ = 2 %.

Пример. Высоты точек: HА = 75 м; HВ = 72.08 м.

Расстояние между точками А и В на карте равно 2.3 см. Масштаб карты 1:25000, т. е. 1 см на карте соответствует 250 м на местности. Тогда SAB = 2.3 × 250 = 575 м.

Вычисляем уклон линии

Определяем угол наклона

Профилем местности называют уменьшенное изображение вертикального разреза местности по заданному направлению.

Пусть требуется построить профиль местности по линии DE, указанной на карте (рис. 14).

Рис. 14. Построение профиля по топографической карте

Для построения профиля на листе бумаги (как правило, используется миллиметровая бумага) проводят горизонтальную прямую и на ней, обычно в масштабе карты (плана), откладывают линию DE и точки её пересечения с горизонталями и полугоризонталями. Далее из этих точек по перпендикулярам откладывают отметки соответствующих горизонталей (на рис. 39 это отметки 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80 и 82,5 м). Чтобы отобразить профиль более рельефно, отметки точек обычно откладывают в масштабе в 10 раз крупнее масштаба плана. Соединив прямыми концы перпендикуляров, получают профиль по линии DE.

Контрольные вопросы:

1.Какая разница между планом и картой?

2.Дайте определение широты и долготы.

3.Что такое зональная система плоских прямоугольных координат?

4. Что такое горизонталь? Каковы её основные свойства?

5.Что такое высота сечения рельефа? От чего зависит её выбор, как определить высоту сечения на карте?

6. Что называется заложением горизонталей?

7.Что такое уклон линии? Как его выражают в инженерной практике?

8. Как определить на карте высоту точки и крутизну ската линии?

Использование специализированного программного обеспечения

Решение обратной геодезической задачи требует использования специализированного программного обеспечения, которое помогает произвести необходимые расчеты и обработку данных. Это программное обеспечение позволяет существенно упростить и ускорить процесс решения задачи, а также обеспечить высокую точность результатов.

На сегодняшний день существует большое количество программных продуктов, которые предназначены для решения обратной геодезической задачи. Они отличаются функциональностью, удобством использования и возможностями интеграции с другими инструментами геодезического моделирования.

Одним из самых популярных и признанных программных продуктов в этой области является Geomatica, разработанный компанией PCI Geomatics. Это специализированное программное обеспечение предоставляет широкие возможности для решения обратной геодезической задачи, включая работу с различными системами координат, расчеты прямых и обратных преобразований, а также интеграцию с другими инструментами геодезического моделирования.

Другим известным программным продуктом является Leica Geo Office, разработанный компанией Leica Geosystems. Это программное обеспечение предоставляет все необходимые инструменты для обратной геодезии, включая решение задачи определения координат и ориентации объектов по известным геодезическим параметрам.

Также стоит отметить программу GpsGate, которая представляет собой функциональный инструмент для обратной геодезии. Она позволяет производить не только прямые и обратные преобразования координат, но и решать сложные задачи, связанные с обработкой данных с GPS-приемников и других геодезических приборов.

Использование специализированного программного обеспечения значительно облегчает решение обратной геодезической задачи и обеспечивает высокую точность результатов. Однако, при выборе программы необходимо учитывать особенности конкретной задачи, требования к точности и доступность необходимых функций.

Важно помнить, что правильный выбор программного обеспечения в сочетании с грамотным использованием его функций и возможностей позволяет получить наилучшие результаты при решении обратной геодезической задачи

PCI Geomatics: https://www.pcigeomatics.com/
Leica Geosystems: https://leica-geosystems.com/
GpsGate: https://gpsgate.com/

1.4.2. Определение прямоугольных координат точек

Система прямоугольных координат представлена на карте километровой сеткой, образованной равноотстоящими линиями X и Y. При составлении топографических карт поверхность Земли меридианами через 6° делят на 60 зон, которые нумеруют, начиная от Гринвичского меридиана в направлении с запада на восток. Каждую зону изображают на плоскости, используя проекцию Гаусса, и устанавливают в ней прямоугольную систему координат, направляя ось X на север по осевому меридиану зоны, а ось Y – на восток по экватору. Линии абсцисс X и ординат Y на выходах за внутреннюю рамку карты подписывают значениями, выраженными в километрах (см. рис. 3). При этом у крайних линий сетки значения координат подписывают полностью – 5997 и 6006, а у промежуточных линий только две последние цифры 98, 99 и т. д.

Прямоугольные координаты точки определяют, используя километровую сетку и оцифровку её линий у внутренней рамки. Для этого находят координаты углов квадрата, в котором расположена точка, и измеряют кратчайшие расстояния от заданной точки до всех сторон квадрата (рис. 9).

Абсциссу и ординату точки рассчитывают по формулам

где – абсциссы южной и северной сторон квадрата, в котором расположена точка; – кратчайшее расстояние в мм от точки до южной стороны квадрата; – кратчайшее расстояние в мм от точки до северной стороны; – ординаты западной и восточной сторон квадрата; , – кратчайшие расстояния в мм от точки до западной и восточной сторон квадрата.

Рис. 9. Определение прямоугольных координат

В примере на рис. 9

1.4.4. Определение высот точек

Высотой точки является расстояние, отсчитываемое по направлению отвесной линии от уровенной поверхности до данной точки. Численное значение высоты точки называется отметкой.

Горизонталью называется кривая линия, соединяющая все точки местности с равными отметками. Отметки горизонталей кратны высоте сечения рельефа. Под графиком линейного масштаба на карте подписано (см. рис. 3): сплошные горизонтали проведены через 5 метров, т. е. высота сечения рельефа h равна 5 м. При такой высоте сечения горизонтали с отметкой кратной 25 м изображаются на карте утолщёнными линиями. Если высота горизонтали кратна 5 или 10 м, её подписывают в разрыве. Подписи наносят таким образом, чтобы верх цифр указывал сторону повышения рельефа. На рис. 12 подписаны горизонтали с отметкой 75 м и 80 м.

Рис. 11. Определение отметок точек на карте с горизонталями

Для определения высоты неподписанной горизонтали находят ближайшую подписанную и по числу интервалов между ними с учётом направления ската определяют высоту искомой горизонтали. При этом необходимо правильно установить направление ската, т. е. в какую сторону от данной горизонтали высоты увеличиваются, а в какую – уменьшаются. Местность всегда понижается к водотокам (рекам, ручьям). Также для того, чтобы сделать чертеж более наглядным, горизонтали сопровождают небольшими черточками, которые ставятся перпендикулярно горизонталям, по направлению ската (в сторону стока воды, т. е. понижения). Эти черточки называются бергштрихи.

Там, где заложения скатов большие, наносят штриховые линии –полугоризонтали, которые отстоят по высоте от соседних горизонталей на половину высоты сечения рельефа, т. е. 0.5h.

При определении высот точек возможны три случая:

1. Точка лежит на горизонтали. В этом случае отметка точки равна отметке горизонтали (см. рис. 12): HА = 75 м; НС = 55 м.

2. Точка лежит на скате между горизонталями.

На рис. 12 между горизонталями лежит точка В. Чтобы найти высоту точки, через нее проводят кратчайшее заложение, масштабной линейкой измеряют длину отрезков а и b и подставляют в выражение

где h– высота сечения рельефа.

Отрезок а измеряют от точки до горизонтали с меньшей высотой.

3. Точка лежит на скате между горизонталью и полугоризонталью. В этом случае через точку проводят кратчайшее расстояние между горизонталью и полугоризонталью, масштабной линейкой измеряют длину отрезков а и b и подставляют в выражение

где Hг– отметка горизонтали (полугоризонтали) с меньшей высотой.

Методы решения

Решение обратной геодезической задачи может быть достигнуто с использованием различных методов, которые обычно основаны на численных алгоритмах и математических моделях.

Один из наиболее распространенных методов — метод Ньютона. Он базируется на итерационном процессе, в котором последовательно уточняются значения искомых параметров. Этот метод позволяет достичь высокой точности результатов, но требует правильного выбора начального приближения.

Еще один распространенный метод — метод Марчовских цепей. Он основан на создании набора случайных траекторий, которые затем анализируются и оптимизируются для нахождения наилучшего решения. Этот метод часто используется для статистической оценки решений и поиска оптимальных параметров.

Кроме того, существуют и другие методы, такие как методы линейной аппроксимации, методы градиентного спуска и методы обратной интерполяции. Каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, и выбор метода зависит от конкретной задачи и требуемой точности результатов.

В общем, решение обратной геодезической задачи является сложной задачей, требующей глубокого понимания математических моделей и алгоритмов. Однако, благодаря современным технологиям и развитию компьютерных вычислений, эти методы становятся все более доступными и применимыми в различных областях науки и производства.

Обратная геодезическая задача: методы решения и примеры

Методы решения обратной геодезической задачи могут быть различными в зависимости от используемых моделей и алгоритмов. Один из популярных методов основан на формуле геодезических линий, которая описывает кривые, представляющие собой наиболее короткое расстояние между двумя точками на поверхности Земли. Другой метод основан на треугольной тригонометрии и позволяет решать задачи прямой и обратной геодезии с использованием тригонометрических функций и таблиц. Еще один метод основан на численном интегрировании дифференциального уравнения, описывающего геодезическую линию.

Примеры решения обратной геодезической задачи могут быть разнообразными. Рассмотрим пример определения координат точки по известным значениям расстояния и угла. Предположим, что имеются следующие данные: расстояние — 100 метров, азимут — 45 градусов. Известные координаты начальной точки: широта — 55 градусов, долгота — 37 градусов.

Известные координаты	Расстояние	Азимут
Широта: 55 градусов	100 метров	45 градусов

Для решения данной задачи можно использовать треугольную тригонометрию. Зная начальные координаты и известные значения расстояния и азимута, можно вычислить конечные координаты точки. Для этого необходимо использовать соответствующие тригонометрические функции и формулы, описывающие соотношения между сторонами треугольника и углами.

Таким образом, обратная геодезическая задача является важным инструментом в геодезии и геоинформатике и имеет различные методы решения. Понимание этих методов и умение применять их на практике позволяют определить координаты точек на поверхности Земли, основываясь на известных данных о расстоянии и угле.

[править] Пример программной реализации

Исходники вышеприведённых функций можно найти в архиве Sph.zip в файле sph.c. Кроме того, в файл sph.h включены следующие определения:

#define A_E 6371.0				// радиус Земли в километрах
#define Degrees(x) (x * 57.29577951308232)	// радианы -> градусы
#define Radians(x) (x / 57.29577951308232)	// градусы -> радианы

Теперь напишем программу, которая обращается к функции SphereInverse для решения обратной задачи:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "sph.h"
 
int main(int argc, char *argv)
{
  char buf1024;
  double pt12, pt22;
  double lat1, lon1, lat2, lon2, azi1, azi2, dist;
 
  while (fgets(buf, 1024, stdin) != NULL) {
    sscanf(buf, "%lf %lf %lf %lf", &lat1, &lon1, &lat2, &lon2);
    pt1 = Radians(lat1);
    pt11 = Radians(lon1);
    pt2 = Radians(lat2);
    pt21 = Radians(lon2);
    SphereInverse(pt2, pt1, &azi2, &dist);		// Решение обратной задачи
    SphereInverse(pt1, pt2, &azi1, &dist);		// Вычисление обратного азимута
    printf("%f\t%f\t%.4f\n", Degrees(azi1), Degrees(azi2), dist * A_E);
  }
  return ;
}

В архиве Sph.zip этот код находится в файле inv.c. Создадим исполняемый модуль inv компилятором gcc:

$ gcc -o inv inv.c sph.c -lm

Впрочем, в архиве есть Makefile. Для MS Windows готовую программу inv.exe можно найти в архиве Sph-win32.zip.

Программа читает данные из стандартного ввода консоли и отправляет результаты на стандартный вывод. Для чтения и записи файлов используются символы перенаправления потока «>» и «<» соответственно. Из каждой строки ввода программа считывает координаты двух точек φ₁, λ₁, φ₂, λ₂, которые должны быть в градусах, решает обратную задачу и записывает в строку вывода α₁, α₂, s (азимуты прямого и обратного направлений в градусах; расстояние между пунктами в километрах, а точнее, в единицах, определённых константой A_E).

Создадим файл inv.dat, содержащий одну строку данных:

30 0 52 54

После запуска программы

$ inv < inv.dat

получим α₁, α₂, s:

44.804060 262.415109 5001.1309

В архиве Sph-py.zip находятся скрипты на языке Питон. Выполнение скрипта в командной консоли:

$ python inv.py inv.dat

Бизнес и финансы

БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Значение обратной геодезической задачи в геодезии и картографии

Знание обратной геодезической задачи позволяет определить точное местоположение объектов на земной поверхности

Это важно для создания точных карт и планов, а также для проведения геодезических измерений и геодезической съемки

Для геодезии и картографии обратная геодезическая задача является ключевой, так как она позволяет определить геодезическую длину, направление и углы между объектами на земной поверхности. Эти данные необходимы для создания точных карт и планов, а также для определения границ территорий и местоположения объектов в пространстве.

Методы решения обратной геодезической задачи включают в себя различные алгоритмы и модели, основанные на математических принципах геодезии и тригонометрии. Эти методы позволяют найти точное решение задачи и получить результаты с высокой степенью точности.

Примеры использования обратной геодезической задачи в геодезии и картографии
1. Определение координат географических точек на земной поверхности по измеренным углам и расстояниям.
2. Создание точных карт и планов, где требуется учет геодезических характеристик объектов.
3. Планирование маршрутов и определение расстояний между объектами с учетом геодезических характеристик поверхности.
4. Расчет площадей и объемов объектов на земной поверхности с учетом геодезической длины и углов.
5. Определение границ территорий и местоположения объектов в геодезической системе координат.

Таким образом, обратная геодезическая задача имеет значительное значение в геодезии и картографии, позволяя определить точное местоположение объектов и получить данные о геодезических характеристиках поверхности

Это важно для создания точных карт и планов, а также для проведения геодезических измерений и планирования маршрутов

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

Вычисление координат точки по заданным параметрам

Для решения обратной геодезической задачи и определения координат точки по заданным параметрам, необходимо знать следующие данные:

Начальные координаты точки, от которой мы идем (широта и долгота).
Направление движения (азимут) и расстояние, которое нужно пройти от начальной точки.

Алгоритм вычисления координат точки по заданным параметрам включает несколько шагов:

Преобразование начальных координат из десятичных градусов в радианы.
Преобразование азимута из градусов в радианы.
Вычисление конечных координат точки по формулам геодезической задачи.
Преобразование конечных координат из радианов в десятичные градусы.

Пример вычисления координат точки по заданным параметрам:

Пусть начальная точка имеет координаты 55.7522°N, 37.6156°E. Направление движения (азимут) составляет 45 градусов, а расстояние, которое нужно пройти, равно 1000 метров.

Шаги вычисления:

Преобразуем начальные координаты из десятичных градусов в радианы:

широта: 55.7522° * π/180 = 0.9729 рад

долгота: 37.6156° * π/180 = 0.6569 рад

Преобразуем азимут из градусов в радианы:

азимут: 45° * π/180 = 0.7854 рад

Вычисляем конечные координаты точки по формулам геодезической задачи:

широта: asin(sin(широта_начальная)*cos(расстояние_пройденное/радиус_Земли) + cos(широта_начальная)*sin(расстояние_пройденное/радиус_Земли)*cos(азимут))

долгота: долгота_начальная + atan2(sin(азимут)*sin(расстояние_пройденное/радиус_Земли)*cos(широта_начальная), cos(расстояние_пройденное/радиус_Земли)-sin(широта_начальная)*sin(широта_конечная))

Преобразуем конечные координаты из радианов в десятичные градусы:

широта: 0.9729 рад * 180/π = 55.7582°

долгота: 0.6569 рад * 180/π = 37.6377°

Итак, координаты конечной точки по заданным параметрам будут составлять 55.7582°N, 37.6377°E.

1.4.3. Решение обратной геодезической задачи

Целью решения обратной геодезической задачи является вычисление длины линии и дирекционного угла линии по известным координатам её конечных точек. Т. е. при известных координатах точек А (XA, YA) и В (XB, YB) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: осевой румб rAB и дирекционный угол aAB (рис. 10).

Координаты точек А (XA, YA) и В (XB, YB) определяют при решении предыдущей задачи (см. п.1.4.2).

Данная задача решается следующим образом.

ΔX = XB – XA ,

ΔY = YB – YA.

Рис. 10. Обратная геодезическая задача

Величину осевого румба rAB определяем из отношения

Таблица 1

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат	Четверть окружности, в которую направлена линия
I (СВ)	II (ЮВ)	III (ЮЗ)	IV (СЗ)
	+	–	–	+
ΔY	+	+	–	–

Используя зависимость между дирекционными углами и осевыми румбами (рис. 11), находим aAB.

Рис. 11. Осевые румбы и дирекционные углы

Зависимость между дирекционными углами и румбами определяется для четвертей по следующим формулам:

I четверть (СВ) r = a,

II четверть (ЮВ) r = 180° – a,

III четверть (ЮЗ) r = a – 180° ,

IV четверть (СЗ) r = 360° – a.

Расстояние SAB определяем по формуле

Для контроля расстояние SAB вычисляют дважды по формулам:

Пример. Координаты точек: А (5998.650 км, 2396.750 км);

В (6000.150 км, 2395.250 км).

Вычисляем осевой румб rAB из отношения

По знакам приращений координат ΔX>0 и ΔY<0 определяем четверть – IV (СЗ).

Используя зависимость между дирекционными углами и осевыми румбами в IV четверти, находим дирекционный угол

Вычисляем расстояние SAB

км.

Контроль км,

км.

1.3.2. Изображение рельефа с помощью горизонталей, числовых отметок и условных знаков

Для решения инженерных задач изображение рельефа должно обеспечивать: во-первых, быстрое определение с требуемой точностью высот точек местности, направления крутизны скатов и уклонов линий; во-вторых, наглядное отображение действительного ландшафта местности.

Рельеф местности на планах и картах изображают различными способами (штриховкой, пунктиром, цветной пластикой), но чаще всего с помощью горизонталей (изогипсов), числовых отметок и условных знаков.

Горизонталь на местности можно представить как след, образованный пересечением уровенной поверхности с физической поверхностью Земли. Например, если представить холм, окружённый неподвижной водой, то береговая линия воды и есть горизонталь (рис. 5). Лежащие на ней точки имеют одинаковую высоту.

Курсовые работы

Рис. 5. Способ изображения рельефа горизонталями

Допустим, что высота уровня воды относительно уровенной поверхности 110 м (рис. 5). Предположим теперь, что уровень воды упал на 5 м и часть холма обнажилась. Кривая линия пересечения поверхностей воды и холма будет соответствовать горизонтали с высотой 105 м. Если последовательно снижать уровень воды по 5 м и проектировать кривые линии, образованные пересечением поверхности воды с земной поверхностью, на горизонтальную плоскость в уменьшенном виде, то получим изображение рельефа местности горизонталями на плоскости.

Таким образом кривая линия, соединяющая все точки местности с равными высотами, называется горизонталью.

При решении ряда инженерных задач необходимо знать свойства горизонталей:

1. Все точки местности, лежащие на горизонтали, имеют равные отметки.

2. Горизонтали не могут пересекаться на плане, поскольку они лежат на разных высотах. Исключения возможны в горных районах, когда горизонталями изображают нависший утес.

3. Горизонтали являются непрерывными линиями. Горизонтали, прерванные у рамки плана, замыкаются за пределами плана.

4. Разность высот смежных горизонталей называется высотой сечения рельефа и обозначается буквой h.

Высота сечения рельефа в пределах плана или карты строго постоянна. Её выбор зависит от характера рельефа, масштаба и назначения карты или плана. Для определения высоты сечения рельефа иногда пользуются формулой

h = 0,2 мм × М,

где М – знаменатель масштаба.

Такая высота сечения рельефа называется нормальной.

5. Расстояние между соседними горизонталями на плане или карте называется заложением ската или склона. Заложение есть любое расстояние между соседними горизонталями (см. рис. 5), оно характеризует крутизну ската местности и обозначается d.

Вертикальный угол, образованный направлением ската с плоскостью горизонта и выраженный в угловой мере, называется углом наклона ската n (рис. 6). Чем больше угол наклона, тем круче скат.

Рис. 6. Определение уклона и угла наклона ската

Другой характеристикой крутизны служит уклон i. Уклоном линии местности называют отношение превышения к горизонтальному проложению. Из формулы следует (рис. 6), что уклон безразмерная величина. Его выражают в сотых долях (%) или тысячных долях – промиллях (‰).

Если угол наклона ската до 45°, то он изображается горизонталями, если его крутизна более 45°, то рельеф обозначают специальными знаками. Например, обрыв показывается на планах и картах соответствующим условным знаком.

1.3.1. Рельеф. Основные формы рельефа

Рельеф – форма физической поверхности Земли, рассматриваемая по отношению к её уровенной поверхности.

Рельефом называется совокупность неровностей суши, дна океанов и морей, разнообразных по очертаниям, размерам, происхождению, возрасту и истории развития. При проектировании и строительстве железных, автомобильных и других сетей необходимо учитывать характер рельефа – горный, холмистый, равнинный и др.

Рельеф земной поверхности весьма разнообразен, но все многообразие форм рельефа для упрощения его анализа типизировано на небольшое количество основных форм (рис. 4).

К основным формам рельефа относятся.

Гора – это возвышающаяся над окружающей местностью конусообразная форма рельефа. Наивысшая точка её называется вершиной. Вершина может быть острой – пик или в виде площадки – плато. Боковая поверхность состоит из скатов. Линия слияния скатов с окружающей местностью называется подошвой или основанием горы.

Котловина – форма рельефа, противоположная горе, представляющая собой замкнутое углубление. Самая низкая точка её – дно. Боковая поверхность состоит из скатов; линия их слияния с окружающей местностью называется бровкой.

Хребет – это возвышенность, вытянутая и постоянно понижающаяся в каком-либо направлении. У хребта два склона; в верхней части хребта они сливаются, образуя водораздельную линию, или водораздел.

Лощина – форма рельефа, противоположная хребту и представляющая вытянутое в каком-либо направлении и открытое с одного конца постоянно понижающееся углубление. Два ската лощины, сливаясь между собой в самой низкой части её образуют водосливную линию или тальвег, по которой стекает вода, попадающая на скаты. Разновидностями лощины являются долина и овраг: первая является широкой лощиной с пологими задернованными скатами, вторая – узкая лощина с крутыми обнаженными скатами. Долина часто бывает ложем реки или ручья.

Седловина – это место, которое образуется при слиянии скатов двух соседних гор. Иногда седловина является местом слияния водоразделов двух хребтов. От седловины берут начало две лощины, распространяющиеся в противоположных направлениях. В горной местности через седловины обычно пролегают дороги или пешеходные тропы, поэтому седловины в горах называют перевалами.

Примеры

Решение прямой геодезической задачи

Для решения прямой геодезической задачи, неоходимо создать объект класса .

var directEllipsoid = new DirectProblemService(new Ellipsoid());
var directSpheroid = new DirectProblemService(new Spheroid());

В качестве параметра в конструктор следует передать объект реализующий интерфейс , в котором задаются полярный и экваториальный радиус, а так же коэффициент полярного сжатия.

Для решения прямой задачи вызвать метод , в который передать в качестве параметров, начальную точку, азимут = направление и расстояние:

var point1 = new Point(15, 25, 53, CardinalLongitude.W, 28, 7, 38, CardinalLatitude.N);
var azimuth = 21;
var distance = 2000;
var directAnswer = directEllipsoid.DirectProblem(point1, azimuth, distance);

Ответ содержит вторую точку ортодромии и обратный азимут .

Решение обратной геодезической задачи

Для решения обратной геодезической задачи, неоходимо создать объект класса .

var inverseEllipsoid = new InverseProblemService(new Ellipsoid());
var inverseSpheroid = new InverseProblemService(new Spheroid());

Для решения обратной задачи вызвать метод , в который передать в качестве параметров, две точки:

var point1 = new Point(15, 25, 53, CardinalLongitude.W, 28, 7, 38, CardinalLatitude.N);
var point2 = new Point(59, 36, 30, CardinalLongitude.W, 13, 5, 46, CardinalLatitude.N);
var inverseAnswer = inverseEllipsoid.OrthodromicDistance(point1, point2);

Ответ содержит прямой и обратный азимуты , , а также расстояние между точками .

Вычисление точки пересечения ортодромий

Для вычисления точки пересечения ортодромий, неоходимо создать объект класса .

var intersectEllipsoid = new IntersectService(new Ellipsoid());
var intersectSpheroid = new IntersectService(new Spheroid());

Для рассчёта вызвать метод , в который передать в качестве параметров, по две точки для каждой из двух ортодромий:

var point1 = new Point(22, 36, 30, CardinalLongitude.E, 13, 5, 46, CardinalLatitude.N);
var point2 = new Point(27, 25, 53, CardinalLongitude.E, 15, 7, 38, CardinalLatitude.N);
var point3 = new Point(20, 36, 30, CardinalLongitude.E, 17, 5, 46, CardinalLatitude.N);
var point4 = new Point(26, 25, 53, CardinalLongitude.E, 13, 7, 38, CardinalLatitude.N);
var intersectCoord = intersectEllipsoid.IntersectOrthodromic(point1, point2, point3, point4);

Ответом будет точка — объект класса , в котором определены долгота и широта, в десятичных градуса (,) или в радианах (,).

Вычисление широты по долготе или долготы по широте

Для рассчётов, неоходимо создать объект класса .

var intermediateEllipsoid = new IntermediatePointService(new Ellipsoid());
var ntermediateSpheroid = new IntermediatePointService(new Spheroid());

Для вычисления широты вызвать метод , в который передать значение долготы, для которого мы вычисляем широту, и две координаты характеризующие ортодромию.

var coord1 = new Point(10, 10);
var coord2 = new Point(30, 50);
var lat = intermediateEllipsoid.GetLatitude(20, coord1, coord2);

Для вычисления долготы вызвать метод , в который передать значение широты, для которого мы вычисляем долготу, и две координаты характеризующие ортодромию.

var coord1 = new Point(10, 10);
var coord2 = new Point(30, 50);
var lat = intermediateEllipsoid.GetLongitude(20, coord1, coord2);

В обоих случая ответом будет значение типа .

Метод половинного деления

В данном методе сначала выбираются две границы интервала, на котором предполагается нахождение корня. Затем производится итерационный процесс, состоящий из следующих шагов:

Шаг 1: Вычисление значения функции в середине интервала.

Шаг 2: Определение, в какой половине интервала находится корень: если знаки функции в середине интервала и на одной из границ совпадают, то корень находится в другой половине интервала, иначе корень уже найден.

Шаг 3: Сокращение интервала путем выбора той половины, в которой находится корень.

Шаг 4: Повторение шагов 1-3 до достижения заданной точности или окончания итераций.

Метод половинного деления прост в реализации, но может быть медленным, особенно для функций с большим числом корней или когда корень находится близко к границе интервала. Однако его преимущество заключается в том, что он всегда гарантирует сходимость к корню, если только функция непрерывна на заданном интервале и значения функции на границах имеют разные знаки.

В обратной геодезии метод половинного деления можно использовать для решения таких задач, как определение координат точки между двумя известными точками с заданными расстояниями и направлениями, или определение координат точки пересечения двух линий.

1.4.1. Определение географических координат точек

Географическая широта j – угол, образованный отвесной линией в данной точке и экваториальной плоскостью (рис. 7).

Географическая долгота l – двугранный угол между плоскостями меридиана данной точки с плоскостью начального меридиана (рис. 7).

Рис. 7. Система географических координат

Широту и долготу заданной точки получают из выражений

где – широты южной и северной параллелей, проходящих через границы минутного деления рамки; – расстояние в мм от точки до южной параллели; – расстояние в мм от точки до северной параллели; – долготы западного и восточного меридианов, проходящих через границы минутного деления рамки; – расстояние в мм от точки до западного меридиана;. – расстояние в мм от точке до восточного меридиана.

Рис. 8. Определение географических координат

В примере на рис. 8

Определение обратной геодезической задачи

Главной целью обратной геодезической задачи является определение геодезических координат (широты, долготы и геодезической высоты) по известным эллипсоидальным координатам (эллипсоидальные координаты задаются в системе главных радиусов кривизны) и параметрам геодезической линии (направление, длина и начальные координаты).

При решении обратной геодезической задачи необходимо учесть несколько факторов, таких как аппроксимации и неточности в измерениях, а также различные методы вычислений. Определение обратной геодезической задачи является сложной задачей и требует использования специализированных методов и алгоритмов.

Обратная геодезическая задача имеет множество практических применений, включая геодезическую съемку, картографию, навигацию и другие области связанные с определением координат и позиционированием точек на земной поверхности.

Анализ ошибок измерений и выбор оптимального метода

Для анализа и компенсации ошибок измерений используются различные методы, каждый из которых имеет свои преимущества и ограничения. Определение оптимального метода зависит от ряда факторов, таких как характер измеряемой величины, доступность и точность оборудования, требуемая точность результата, доступность базовой информации и т.д.

Одним из наиболее распространенных методов анализа ошибок измерений является метод наименьших квадратов. Он позволяет определить наилучшую оценку неизвестных величин, минимизируя сумму квадратов остатков измерений. Этот метод широко применяется в геодезии для определения координат точек, высот, углов и прочих параметров.

Другим методом анализа ошибок измерений является метод вариационных уравнений. Он основан на принципе наименьшего действия и позволяет найти экстремальные значения функционала, отражающего отклонения фактических измерений от их модельных значений. Этот метод позволяет учесть как систематические, так и случайные ошибки измерений.

Помимо вышеупомянутых методов, существует множество других подходов к анализу ошибок измерений, таких как метод наименьших модулей, методы статистического анализа, методы максимального правдоподобия и др. Каждый из них имеет свои особенности и применимость в зависимости от конкретной задачи и условий измерений.

При выборе оптимального метода необходимо учитывать требования заказчика, доступные ресурсы и возможности применения различных методов

Важно также учесть специфику измеряемых параметров и особенности обсерваций. Комплексный анализ ошибок и выбор наиболее подходящего метода позволит получить точные и надежные результаты, соответствующие требованиям проекта