Введение
Длина дуги большого круга – кратчайшее расстояние между любыми двумя точками находящимися на поверхности сферы, измеренное вдоль линии соединяющей эти две точки (такая линия носит название ортодромии) и проходящей по поверхности сферы или другой поверхности вращения.
Сферическая геометрия отличается от обычной Эвклидовой и уравнения расстояния также принимают другую форму. В Эвклидовой геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая линия. На сфере, прямых линий не бывает. Эти линии на сфере являются частью больших кругов – окружностей, центры которых совпадают с центром сферы.
Начальный азимут — азимут, взяв который при начале движения из точки А, следуя по большому кругу на кратчайшее расстояние до точки B, конечной точкой будет точка B. При движении из точки A в точку B по линии большого круга азимут из текущего положения на конечную точку B постоянно меняется. Начальный азимут отличен от постоянного, следуя которому, азимут из текущей точки на конечную не меняется, но маршрут следования не является кратчайшим расстоянием между двумя точками.
Через любые две точки на поверхности сферы, если они не прямо противоположны друг другу (то есть не являются антиподами), можно провести уникальный большой круг. Две точки, разделяют большой круг на две дуги. Длина короткой дуги – кратчайшее расстояние между двумя точками. Между двумя точками-антиподами можно провести бесконечное количество больших кругов, но расстояние между ними будет одинаково на любом круге и равно половине окружности круга, или π*R, где R – радиус сферы.
На плоскости (в прямоугольной системе координат), большие круги и их фрагменты, как было упомянуто выше, представляют собой дуги во всех проекциях, кроме гномонической, где большие круги — прямые линии. На практике это означает, что самолеты и другой авиатранспорт всегда использует маршрут минимального расстояния между точками для экономии топлива, то есть полет осуществляется по расстоянию большого круга, на плоскости это выглядит как дуга.
Форма Земли может быть описана как сфера, поэтому уравнения для вычисления расстояний на большом круге важны для вычисления кратчайшего расстояния между точками на поверхности Земли и часто используются в навигации.
Вычисление расстояния этим методом более эффективно и во многих случаях более точно, чем вычисление его для спроектированных координат (в прямоугольных системах координат), поскольку, во-первых, для этого не надо переводить географические координаты в прямоугольную систему координат (осуществлять проекционные преобразования) и, во-вторых, многие проекции, если неправильно выбраны, могу привести к значительным искажениям длин в силу особенностей проекционных искажений.
Известно, что более точно описывает форму Земли не сфера, а эллипсоид, однако в данной статье рассматривается вычисление расстояний именно на сфере, для вычислений используется сфера радиусом 6372795 метров, что может привести к ошибке вычисления расстояний порядка 0.5%.
Определяем географические координаты
Для определения географических координат нужно определить широту и долготу объекта на градусной сети.
Для определения широты нужно:
- найти объект на карте;
- найти экватор;
- определить в каком полушарии расположен объект, чтобы узнать, какой будет широта — северной или южной;
- определить широту параллели, на которой расположен объект.
Если объект расположен между параллелями нужно:
- определить ближайшую к объекту широту параллели со стороны экватора;
- по линейке определить количество градусов от найденной параллели до объекта, с учетом того, что 1/10 от расстояния между соседними параллелями равна
1°; - прибавить полученное число к значению уже известной широты.
Для определения долготы нужно
- найти объект на карте;
- найти нулевой меридиан;
- определить западной или восточной будет долгота по отношению к нулевому меридиану;
- определить долготу меридиана, на которой расположен объект.
Если объект меридиана расположен между меридианами нужно:
- определить ближайшую к объекту долготу меридиана со стороны Гринвичского меридиана;
- определить количество градусов между найденным меридианом и объектом, с учетом того, что между меридианами также находится 10°;
- прибавить полученное число к значению уже известной ближайшей долготы.
Расчет расстояния с использованием формулы haversine
Для расчета расстояния между двумя точками по долготе с использованием формулы haversine необходимо знать широту и долготу каждой точки. Формула haversine выглядит следующим образом:
| Формула расчета: |
|---|
В этой формуле:
- — расстояние между точками в выбранных единицах измерения (например, километрах)
- — радиус Земли в выбранных единицах измерения (например, километрах). Средний радиус Земли составляет примерно 6,371 километра.
- — широта и долгота первой точки
- — широта и долгота второй точки
- и — тригонометрические функции
Используя формулу haversine, можно точно определить расстояние между двумя точками по долготе независимо от их местоположения на Земле.
Пример расчета
Возьмем две точки с заданными координатами широты и долготы:
| Точка | Широта | Долгота |
|---|---|---|
| Точка 1 | 55.751244 | 37.618423 |
| Точка 2 | 59.93863 | 30.31413 |
Используя формулу для расчета расстояния между двумя точками на сфере, получаем:
расстояние = 6371.01 * acos(sin(55.751244) * sin(59.93863) + cos(55.751244) * cos(59.93863) * cos(30.31413 — 37.618423))
расстояние = 6371.01 * acos(0.784877228053 * 0.832733270888 + 0.619879040756 * 0.553673442894 * cos(-7.304707))
расстояние = 6371.01 * acos(0.653380748807 + 0.343307211206 * cos(-7.304707))
расстояние = 6371.01 * acos(0.653380748807 + 0.343307211206 * -0.99055848148)
расстояние = 6371.01 * acos(0.653380748807 — 0.339383919145)
расстояние = 6371.01 * acos(0.313996829662)
расстояние = 6371.01 * 1.23667228914
расстояние = 7874.90 км
Спутники
AOBA-VELOX 4
12.01.2019 | Космические аппараты (спутники) Японии
AOBA-VELOX 4 – это совместная сингапурская и японская наноспутниковая миссия для демонстрации технологии по наблюдению за лунным горизонтом.
OrigamiSat 1
12.01.2019 | Космические аппараты (спутники) Японии
OrigamiSat 1 — 3U CubeSat, разработанный в Токийском технологическом институте (TITech) для демонстрации современной мембранной космической структуры на орбите.
NEXUS
08.01.2019 | Космические аппараты (спутники) Японии
NEXUS (NExt Generation X Unique Satellite) — представляет собой 1U CubeSat для демонстрации любительской спутниковой связи нового поколения.
Hodoyoshi 2 / RISESat
08.01.2019 | Космические аппараты (спутники) Японии
Hodoyoshi 2 / RISESat (Rapid International Scientific Experiment Satellite) — небольшой японский спутник для наблюдения Земли, а также тестирования ряда…
ALE 1, 2
08.01.2019 | Космические аппараты (спутники) Японии
ALE 1 (Astro Live Experiences 1) — это небольшой демонстрационный спутник японской компании Astro Live Experiences. На орбите ALE 1…
RAPIS 1
08.01.2019 | Космические аппараты (спутники) Японии
RAPIS 1 (Rapid Innovative Payload Demonstration Satellite 1) – небольшой японский спутник, предназначенный для тестирования новых технологий в космосе.
Как измерить расстояние на карте с помощью градусной сетки?
С помощью карты можно определять расстояние между точками на земной поверхности, но точность таких вычислений невысока.
Ситуация относительно проста, если точки лежат на одном меридиане. Все меридианы имеют одинаковую длину. Можно подсчитать, что одному градусу широты соответствует примерно 111,3 км реальной длины. Поэтому надо найти разницу в долготе между точками и умножить ее на 111,3 км. Например, если точка А находится на северной широте 50°, а Б располагается на северной широте 32°, и при этом у них совпадает долгота, то расстояние между ними составит.
111,3х(50° – 32°) = 111,3х16 = 1780,8 км
Ситуация меняется, когда одна точка имеет северную, а другая – южную широту. В этом случае широты уже надо складывать. Так, если бы точка Б из предыдущего примера располагалась бы на южной широте 32°, то расстояние от А до Б составило бы:
111,3х(50° + 32°) = 111,3х82 = 9126,6 км
Ситуация усложняется, когда точки находятся на разных меридианах, но на одной параллели. Если у обеих точек долгота западная (или, наоборот, восточная), то сначала надо найти разницу их долгот. Если же одна точка имеет восточную, а другая западную долготу, то их надо суммировать. Далее результат надо умножить на длину 1° параллели. Эта длина у параллелей различна и зависит от их широты. Можно воспользоваться таблицей ниже:
Например, нужно найти расстояние между точками, имеющими координаты:
А – 60° с. ш, 39° з. д.Б – 60° с. ш, 25° з. д.
Широты у них одинаковы, поэтому смотрим на долготу. Она у обеих точек западная, поэтому надо найти их разницу:
39° – 25° = 14°
Полученный результат надо умножить на длину 1° параллели, широта которой составляет 60°. По табличке определяем, что на широте 60° дуга в 1° имеет длину 55,8 км. Перемножаем два числа:
14°х 55,8 км = 781,2 км
Список использованных источников
Вычисление расстояния между двумя точками через формулу
Найти расстояние между двумя точками в пространстве или на плоскости можно как по прямой, так и по маршруту (с учетом расположения дорог, их поворотов, объездов и пр.). В первом случае применима специальная формула, воспользоваться которой можно как в автоматическом режиме, введя известные данные отрезков в калькулятор на сайте, так и самостоятельно, проведя итоговое решение с нужными материалами на бумаге.
Кратчайшим (прямым) расстоянием считается дуга, проходящая по поверхности Земли от точки А в точку Б. Чтобы найти ее длину, применяют так называемую модифицированную формулу гаверсинусов, учитывающую радиус планеты.
Известно, что Земля – не идеальный шар, а несколько приплюснутый, потому и радиус у нее в разных точках различен. Ввиду этого для подсчета кратчайшего расстояния между точками используется усредненное значение радиуса относительно оси (6372.795 км для Земли), что допускает погрешность итогового значения около 0,5 %.
Формула для нахождения расстояния между точками
В формуле, при помощи которой можно найти расстояния между двумя данными точками планеты с использованием координат, присутствуют следующие величины (известные из математики):
- d – центральный угол (перпендикуляр) между двумя данными точками, лежащими на большом круге (т. е. на окружности, получаемой при сечении центральной части шара плоскостью);
- r – радиус сферы (т. е. усредненное значение радиуса Земли: 6372.795 км);
- y₁ и y₂ – широта двух точек в радианах;
- x₁ и x₂ – долгота двух точек в радианах.
Получим следующую тригонометрическую формулу, плавно вытекающую из теоремы пифагора (евклидова геометрия), которая равна:
cos(d) = sin(y₁)·sin(y₂) + cos(y₁)·cos(y₂)·cos(x₁ − x₂)
Данное соотношение можно получить из прямоугольного треугольника.
Подставив в формулу заданные значения точек, и получим вычисление.
Для того чтобы найти ответ про расстояние между двумя точками координат в километрах, поможет формула:
Способы решения и нахождения расстояния между точками по координатам
Чтобы провести решение и получить ответ о расстоянии точек в пространстве или плоскости по координатам GPS, необязательно использовать формулу вручную. Ответ о расстоянии между точками по координатам получим при помощи специальных утилит.
Онлайн-калькулятор для расчета расстояния между точками по координатам
В интернете есть множество сайтов с однотипными формулами в онлайн-калькуляторах для решения и нахождения прямого расстояния между двумя точками по координатам. Для этого нужно узнать широту и долготу двух искомых точек в пространстве или на плоскости и вбить эти данные в соответствующие окошки формулы (чем больше знаков после запятой у каждой точки известно, тем точнее получим значение).
Картографическая программа для нахождения расстояния между точками
Вычислять расстояние между двумя точками на плоскости по координатам и давать точный ответ умеет любое приложение-навигатор и без вычисления по формуле, например:
- «Карты»;
- «Google.Maps»;
- «Google Планета Земля»;
- «SAS.Планета».
Для определения расстояния между точками не по дорогам и маршрутам, а напрямую по двум точкам, применяется инструмент «Линейка».
Многие из популярных навигаторов способны определять расстояние по координатам двух точек онлайн без формул: это можно сделать на сайте в разделе «Азимут» или «Другие вычисления».
Откуда берется погрешность при расчете расстояния между точками
При вычислении прямого расстояния между координатами двух точек применяется подсчет длины дуги этих точек, для чего берется радиус точек (его приблизительное среднее значение ввиду особенностей формы Земли). Из-за этого возникает погрешность, т. е. мы получим не точную информацию о расстоянии между точками.
Чем больше искомое расстояние, тем больше получим погрешность в расстоянии между точками.
Также неточность между точками получим тогда, когда при вычислениях расстояния между точками берут недостаточно цифр после запятой в координатах: результат будет приблизительным.
Так, между любыми двумя известными точками на чертеже Земли можно проложить как обычное расстояние по дорогам, так и прямую линию, которая соединяет каждую точку. Вычисления точек проводят вручную или автоматически, причем во втором случае даже будет известна возможная погрешность, которую получим при нахождении расстояние между точками, неизбежная при измерении сферы Земли.
Источник
Расчет расстояния между координатами
Данный сервис позволяет рассчитать расстояние между двумя точками с известными географическими координатами.
Как известно, кратчайшим расстоянием между двумя точками на земной поверхности является длина дуги круга, проведенного на сфере по этим двум точкам. При расчете расстояния по географическим координатам делается предположение, что Земля не плоская, а круглая (если быть точнее, имеет форму, приближенную к сфере), то есть Земля — сфероид.
Для определения расстояния между двумя точками будет применяться формула расчета длины дуги, так называемая «модифицированная формула гаверсинусов».
Поскольку в расчете участвует радиус, а у Земли, как у не совсем правильной сферы, он разный, скажем на северном полюсе — 6335.437 км, а на экваторе — 6399.592 км. В связи с этим в расчете берется среднее значение радиуса Земли равное 6372.795 км, что позволяет получать результат с точность 99,5%.
В калькуляторе ниже для примера приводится расчет расстояния между координатами г.Москва и г.Санкт-Петербург.
Градусная сеть, ее элементы. Географические координаты — Гипермаркет знаний
Гипермаркет знаний>>География>>География 6 класс>> Градусная сеть, ее элементы. Географические координаты
§ 3. Градусная сеть, ее элементы. Географические координаты
Ориентироваться по карте и находить точное местоположение географических объектов на поверхности Земли позволяет градусная сеть, или система линий параллелей и меридианов.
Параллели (от греч. parallelos — букв, идущий рядом) — это линии, условно проведенные на поверхности Земли параллельно экватору. Параллелей на карте и глобусе можно провести сколько угодно, но обычно на учебных картах их проводят с интервалом 10—20°. Параллели всегда ориентированы с запада на восток. Длина окружности параллелей уменьшается от экватора к полюсам.
Экватор (от лат. aequator — уравнитель) — воображаемая линия на земной поверхности, полученная при мысленном рассечении Земного шара плоскостью, проходящей через центр Земли перпендикулярно оси ее вращения. Все точки на экваторе оказываются равноудаленными от полюсов. Экватор делит Земной шар на два полушария — Северное и Южное.
Меридиан (от лат. meridians — полуденный) — кратчайшая линия, условно проведенная поверхности Земли от одного полюса до другого.Таблица 2
Сравнительная характеристика меридианов и параллелей
| Признаки | Меридианы | Параллели |
| Направление | С.-Ю. | З.-В. |
| Название нулевой линии | Гринвичский (Лондонский) меридиан | Экватор |
| Длина, км | 20 000 | От 40 000 до 0 |
| Длина одного градуса, км | 111 | От 111 до 0 |
| Форма на глобусе | Полуокружность | Окружности |
| Форма на карте полушарий | Срединные меридианы — прямые, остальные — дуги | Экватор — прямая, остальные — дуги |
Географические полюсы (от лат. polus — ось) — математически высчитанные точки пересечения воображаемой оси вращения Земли с земной поверхностью. Меридианы можно провести через любые точки на земной поверхности, и все они будут проходить через оба полюса Земли.
Меридианы ориентированы с севера на юг, и все имеют одинаковую длину (от полюса до полюса) — около 20000 км. Средняя длина 1° меридиана: 20004 км : 180° = 111 км. Направление местного меридиана в любой точке можно определить в полдень по тени от любого предмета.
В Северном полушарии конец тени всегда показывает направление на север, в Южном полушарии — на юг.
Градусная, или картографическая, сеть служит для определения географических координат точек земной поверхности — долгот и широт — или нанесения на карту объектов по их координатам. Все точки данного меридиана имеют одну и ту же долготу, а все точки параллели — одинаковую широту.
Географическая широта — это величина дуги меридиана в градусах от экватора до заданной точки. Так, Санкт-Петербург находится в Северном полушарии, на 60° северной широты (сокращенно с.ш.
), Суэцкий канал — на 30° с.ш. Определить географическую широту любой точки на глобусе или карте — это определить, на какой параллели она находится.
К югу от экватора любая точка будет иметь южную широту (сокращенно ю. ш.).
Географическая долгота — это величина дуги параллели в градусах от начального меридиана до заданной точки. Начальный, или нулевой, меридиан выбран условно и проходит через Гринвичскую обсерваторию, находящуюся недалеко от Лондона. К востоку от этого меридиана определяется восточная долгота (в. д.), к западу — западная (з.д.) (рис. 10).
Широта и долгота любой точки Земли составляют ее графические координаты. Так, географические координаты Москвы — 56° с.ш. и 38° в. д.
Максаковский В.П., Петрова Н.Н., Физическая и экономическая география мира. — М.:Айрис-пресс, 2010. — 368с.:ил.
Видеопо географии скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока конспект урока
опорный каркас презентация урока
акселеративные методы интерактивные технологии Практика
задачи и упражнения самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты
статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные
словарь терминов прочие
Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки
календарный план на год методические рекомендации программы
обсуждения Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.
Как измерить расстояние на карте с помощью градусной сетки?
С помощью карты можно определять расстояние между точками на земной поверхности, но точность таких вычислений невысока.
Ситуация относительно проста, если точки лежат на одном меридиане . Все меридианы имеют одинаковую длину. Можно подсчитать, что одному градусу широты соответствует примерно 111,3 км реальной длины. Поэтому надо найти разницу в долготе между точками и умножить ее на 111,3 км. Например, если точка А находится на северной широте 50°, а Б располагается на северной широте 32°, и при этом у них совпадает долгота, то расстояние между ними составит.
111,3х(50° – 32°) = 111,3х16 = 1780,8 км
Ситуация меняется, когда одна точка имеет северную, а другая – южную широту. В этом случае широты уже надо складывать. Так, если бы точка Б из предыдущего примера располагалась бы на южной широте 32°, то расстояние от А до Б составило бы:
111,3х(50° + 32°) = 111,3х82 = 9126,6 км
Ситуация усложняется, когда точки находятся на разных меридианах, но на одной параллели. Если у обеих точек долгота западная (или, наоборот, восточная), то сначала надо найти разницу их долгот. Если же одна точка имеет восточную, а другая западную долготу, то их надо суммировать. Далее результат надо умножить на длину 1° параллели. Эта длина у параллелей различна и зависит от их широты. Можно воспользоваться таблицей ниже:
Широта параллелиДлина ее дуги величиной в 1°
| 0° | 111,3 |
| 5° | 110,9 |
| 10° | 109,6 |
| 15° | 107,6 |
| 20° | 104,6 |
| 25° | 102,1 |
| 30° | 96,5 |
| 35° | 91,3 |
| 40° | 85,4 |
| 45° | 78,8 |
| 50° | 71,7 |
| 55° | 64,0 |
| 60° | 55,8 |
| 65° | 47,2 |
| 70° | 38,2 |
| 75° | 28,9 |
| 80° | 19,4 |
| 85° | 9,7 |
| 90° |
Например, нужно найти расстояние между точками, имеющими координаты:
А – 60° с. ш, 39° з. д. Б – 60° с. ш, 25° з. д.
Широты у них одинаковы, поэтому смотрим на долготу. Она у обеих точек западная, поэтому надо найти их разницу:
39° – 25° = 14°
Полученный результат надо умножить на длину 1° параллели, широта которой составляет 60°. По табличке определяем, что на широте 60° дуга в 1° имеет длину 55,8 км. Перемножаем два числа:
14°х 55,8 км = 781,2 км
Список использованных источников
Источник