Что такое обратная и прямая геодезическая задача: суть, методы решения, назначение

Поперечный масштаб

Основание AB нормального поперечного масштаба равно, как и в линейном масштабе, также 2 см. Наименьшее деление основания равно CD =1/10 АВ= 2мм. Наименьшее деление поперечного масштаба равно cd = 1/10 CD =1/100 АВ = 0,2мм (что следует из подобия треугольника BCD и треугольника Bcd).

Таким образом, для численного масштаба 1:2000 основание поперечного масштаба будет соответствовать 40 м, наименьшее деление основания (1/10 основания) равно 4 м, а наименьшее деление масштаба 1/100 АВ равно 0,4 м.

Пример: отрезок ав (рис. 2), взятый с плана масштаба 1:2000, соответствует на местности 137,6 м (3 основания поперечного масштаба (3х40=120 м), 4 наименьших деления основания (4х4=16 м) и 4 наименьших деления масштаба (0.4х4=1.6 м), т.е. 120+16+1.6=137.6 м) .

Остановимся на одной из важнейших характеристик понятия «масштаб».

Точностью масштаба называется горизонтальный отрезок на местности, который соответствует величине 0,1 мм на плане данного масштаба. Эта характеристика зависит от разрешающей способности невооруженного человеческого глаза, которая (разрешающая способность) позволяет рассмотреть минимальное расстояние на топографическом плане в 0.1мм. На местности эта величина будет уже равна 0.1 мм х М, где М – знаменатель масштаба.

Рис.2

Поперечный масштаб, в частности, позволяет измерить длину линии на плане (карте) масштаба 1:2000 именно с точностью данного масштаба.

Пример: в 1 мм плана 1:2000 содержится 2000 мм местности, а в 0,1мм, соответственно, 0,1 x М (мм) = 0.1 х 2000 мм = 200 мм = 20 см, т.е. 0,2 м.

Поэтому при измерении (построении) на плане длины линии ее значение следует округлить с точностью масштаба. Пример: при измерении (построении) линии длиной 58,37 м (рис. 3), ее значение в масштабе 1:2000 (с точностью масштаба 0,2 м) округляется до 58,4 м, а в масштабе 1:500 (точность масштаба 0,05 м) – длина линии округляется уже до 58,35 м.

задание 1

Вычисление дирекционных углов линий по измеренным углам. Решение прямой геодезической задачи.Задача 1._АВ12

Рисунок 2. К вычислению дирекционных углов сторон теодолитного хода.

209411718295107790781605183026391—295981823702Исходные данные: αАВ =0 36,2′β1=189 59,2′β2=15928′

Расчет дирекционных углов:αАВ … αВС ….αCD ….

Задача 2._{С С В В ВСВС}

Исходные данные:хВ = –14,02 м.уВ = +627,98 м.dВС = 239,14 м.αВС =-937’

Решение:хВС = dBCcosαBC =239,14 cos(-937’)=235,95 мyВС = dBCsinαBC =239,14 sin(-937’)=-38,93 мxC = xB + xBC =-14,02+235,95=221,93 мyC = yB + yBC =627,98-38,93=589,23 мКонтроль: 239,14

Методы решения прямой геодезической задачи

Прямая геодезическая задача заключается в определении координат точки B на Земной поверхности при известных координатах начальной точки A и направлении движения. В геодезии существует несколько методов решения этой задачи.

Одним из методов является метод связанных треугольников. Он основан на разбиении геодезической задачи на несколько малых треугольников, каждый из которых решается по правилу сходящихся рядов. Этот метод позволяет найти координаты точки B с высокой точностью, но требует значительных вычислительных ресурсов и времени.

Другим методом является метод применения формул прямоугольных треугольников. В этом методе используются формулы синусов и косинусов для расчета сторон и углов треугольника, образованного точками A, B и полюсом Земли. Затем, используя приведенные значения и известные координаты точки A, можно вычислить координаты точки B.

Также существует метод использования геодезической зоны. Земля разделена на ряд конечных областей — геодезических зон, каждая из которых имеет свои характеристики. В данном методе используются таблицы, содержащие координаты вершин геодезических зон и углы поворота, которые позволяют определить координаты точки B при известных координатах точки A и направлении движения.

Кроме того, существуют методы, основанные на использовании специализированных программ и геодезических приборов, таких как GPS или теодолиты. Эти методы позволяют решать прямую геодезическую задачу с высокой точностью и скоростью, но требуют специальных навыков и оборудования.

В зависимости от точности, времени и доступных ресурсов, выбор метода решения прямой геодезической задачи может быть разным

Однако, важно учитывать особенности каждого метода и правильно применять его для получения достоверных результатов

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямая a и требуется найти расстояние от точки А до прямой a.

Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М₁ до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М₁ до точки H₁, где H₁ — основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁ на прямую a. Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.

Итак, приступим.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.

Так как по определению расстояние от точки М₁ до прямой a – это длина перпендикуляра M₁H₁, то, определив координаты точки H₁, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками и по формуле .

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М₁ к прямой a. Сделать это достаточно просто: точка H₁ – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М₁ перпендикулярно к прямой a.

Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки до прямой a в пространстве, таков:

• составляем уравнение плоскости как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a;
• определяем координаты точки H₁ – точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскоти);
• вычисляем требуемое расстояние от точки М₁ до прямой a по формуле .

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.

Так как в условии задачи нам задана прямая a, то мы можем определить ее направляющий вектор и координаты некоторой точки М₃, лежащей на прямой a. Тогда по координатам точек и мы можем вычислить координаты вектора : (при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Отложим векторы и от точки М₃ и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высоту М₁H₁.

Очевидно, высота М₁H₁ построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точки М₁ до прямой a. Найдем .

С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S) может быть найдена через векторное произведение векторов и по формуле . С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть, , где — длина вектора , равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояние от заданной точки М₁ до заданной прямой a может быть найдена из равенства как .

Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой a в пространстве нужно

• определить направляющий вектор прямой a () и вычислить его длину ;
• получить координаты некоторой точки М₃, лежащей на прямой a, вычислить координаты вектора , найти векторное произведение векторов и как и получить его длину ;
• вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите расстояние от точки до прямой .

Решение.

Первый способ.

Напишем уравнение плоскости , проходящей через точку М₁ перпендикулярно заданной прямой:

Найдем координаты точки H₁ — точки пересечения плоскости и заданной прямой. Для этого выполним

после чего решим систему линейных уравнений методом Крамера:

Таким образом, .

Осталось вычислить требуемое расстояние от точки до прямой как расстояние между точками и :.

Второй способ.

Числа, стоящие в знаменателях дробей в канонических уравнениях прямой, представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой, то есть, — направляющий вектор прямой . Вычислим его длину: .

Очевидно, что прямая проходит через точку , тогда вектор с началом в точке и концом в точке есть . Найдем векторное произведение векторов и :
тогда длина этого векторного произведения равна .

Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы воспользоваться формулой для вычисления расстояния от заданной точки до заданной плоскости: .

Ответ:

.

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Тахеометрический журнал

Номера точек наблю-дения	Отсчеты	Место нуля МО	Угол наклона ν	Горизон-тальное проло-жениеd=D‘cos2ν	или	Высота наводки, l	Превышение	Отметки Н, м	Примечания
По нитя-ному дально-меру D‘=Kn	По горизон-тальному кругу	По верти-кальному кругу
			Станция ПЗ 19,i=1,40					131,41	Оптический теодолит 2Т30 №45686 Коэффициент нитяного дальномера К=100,0;
ПЗ 20			КП 032,5′
III			135,5′
ПЗ 20			КЛ-030,5′
III		000′	-134′	+0,8′	-134,8′	192,98	-5,32	3,00	-6,92	124,49
18	86,2	2931′	-205′		-205,8′	86.08	-3,16	l=i	-3,16	128,25
19	56,2	6928′	-216′		-216,8′	56.11	-2,24	l=i	-2,24	129,17
20	48,0	16526′	-323′		-323,’8	47.83	-2,84	l=i	-2,84	128,57
21	103,2	28807′	-052′		-052,8′	103.18	-3,19	3,00	-3,19	128,22
22	60,3	34011′	-249′		-249,8′	60.15	-2,98	l=i	-2,98	128,43

Расстояние от точки до прямой – определение.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M₁, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M₁ прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H₁. Отрезок M₁H₁ называется перпендикуляром, проведенным из точки M₁ к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M₁ до прямой a называют расстояние между точками M₁ и H₁.

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.. Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M1

Отрезок M1Q называют наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M₁. Отрезок M₁Q называют наклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M₁ к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Это действительно так: треугольник M₁QH₁ прямоугольный с гипотенузой M₁Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

Слайд 7 Для определения высоты неподписанной горизонтали находят ближайшую подписанную

ската определяют высоту искомой горизонтали. Крутизна склона (угол наклона ската,

ν) – вертикальный угол, образуемый направлением склона (ската) с горизонтальной плоскостью и выражаемый в угловых мерах или уклонах. Чем больше угол наклона, тем круче скат.Для определения крутизны склона по топографической карте применяют шкалу заложения горизонталей (чем круче скат, тем меньше заложение, поэтому расстояния между горизонталями в этом месте будут небольшие, и, наоборот, при более пологих скатах эти расстояния увеличиваются). Уклоном линии местности (i, %; ‰) называется отношение превышения к горизонтальному проложению:i = h/S=tg ν S=h ctg νЕсли угол наклона до 45 град., то он изображается горизонталями; если больше, то специальными знаками. Например, обрыв.Там, где заложения скатов большие, наносят штриховые линии – полугоризонтали, которые отстоят по высоте от соседних горизонталей на половину высоты сечения рельефа (0,5h)

Задачи на свободное падение тел с решением

Задача №1. Нахождение скорости при свободном падении

Условие

Тело падает с высоты 20 метров. Какую скорость оно разовьет перед столкновением с Землей?

Решение

Высота нам известна по условию. Для решения применим формулу для скорости тела в момент падения и вычислим:

Ответ: примерно 20 метров в секунду.

Задача №2. Нахождение высоты и времени движения тела, брошенного вертикально.

Условие

Индеец выпускает стрелу из лука вертикально вверх с начальной скоростью 25 метров в секунду. За какое время стрела окажется в наивысшей точке и какой максимальной высоты она достигнет стрела?

Решение

Сначала запишем формулу из кинематики для скорости. Как известно, в наивысшей точке траектории скорость стрелы равна нулю:

Теперь запишем закон движения для вертикальной оси, направленной вертикально вверх.

Ответ: 2,5 секунды, 46 метров.

Задача №3. Нахождение времени движения тела, брошенного вертикально вверх

Условие

Мячик бросили вертикально вверх с начальной скоростью 30 метров в секунду. Через какое время мяч окажется на высоте 25 метров?

Решение

Запишем уравнение для движения мячика:

Мы получили квадратное уравнение. Упростим его и найдем корни:

Как видим, уравнение имеет два решения. Первый раз мячик побывал на высоте через 1 секунду (когда поднимался), а второй раз через 5 секунд (когда падал обратно).

Ответ: 1с, 5с.

Задача №4. Нахождение высоты при движении тела под углом к горизонту

Условие

Камень, брошенный с крыши дома под углом альфа к горизонту, через время t1=0,5c достиг максимальной высоты, а еще через время t2=2,5c упал на землю. Определите высоту Н дома. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Решение

Камень брошен со скоростью v0 под углом α к горизонту с дома высотой Н. Эту скорость можно разложить на две составляющие: v0X (горизонтальная) и v0Y (вертикальная). В горизонтальном направлении на камень не действует никаких сил (сопротивлением воздуха пренебрегаем), поэтому горизонтальная составляющая скорости неизменна на протяжении всего времени полета камня (равномерное движение). Максимальная точка траектории камня над уровнем земли (исходя из кинематических соотношений):

Здесь t1 – время подъема камня с высоты Н на высоту h; g – ускорение свободного падения.

Вертикальную составляющую скорости можно вычислить исходя из геометрических соображений:

         
Подставив выражение для скорости в первое уравнение, получим:

Также высоту h можно выразить через время t2 падения камня с высоты h на землю (исходя из кинематических соотношений и учитывая, что с вертикальная составляющая скорости в наивысшей точке равна нулю):

         
Для высоты дома можно записать:

         
Так как вертикальная составляющая скорости камня в максимальной точке траектории равна нулю:

Подставляем в формулу для высоты H и вычисляем:

Ответ: H = 30 м.

Задача №5. Нахождение закона движения тела

Условие

Найти закон движения тела против силы тяжести, при начальной скорости V0. И на какую максимальную высоту поднимется тело? Тело бросили под углом 90 градусов.

Решение

Тело брошено под углом α=90° к горизонту. Другими словами, тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0. Направим координатную ось х вертикально вверх, так ее направление совпадает с вектором начальной скорости. F – сила тяжести, направленная вниз. В начальный момент тело находится в точке А.

В задаче нужно найти закон движения тела, то есть зависимость координаты тела от времени. В общем случае этот закон задается кинематическим соотношением:

где х0 – начальная координата тела; a – ускорение.

Так как мы поместили начало координат в точку А,  х0=0. Тело движется с ускорением свободного падения g, при этом сила тяжести направлена против начальной скорости, поэтому в проекции на вертикальную ось a=-g. Таким образом, искомый закон движения перепишется в виде:

Далее будем использовать еще одно общее кинематическое соотношение:

где V – конечная скорость.

Максимальная высота подъема тела указана на рисунке точной B, в этот момент конечная скорость V равна нулю, а координата х равна максимальной высоте Н подъема тела. Отсюда можно найти выражение для этой величины:

ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями

Формулы, используемые в 9 классе на уроках
«Задачи на прямолинейное равномерное движение».

1 мин = 60 с;   1 ч = 3600 с;   1 км = 1000 м;   1 м/с = 3,6 км/ч.

Для решения задач в 7 классе смотрите другой конспект — «ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ С РЕШЕНИЯМИ»

Для подготовки к ЕГЭ пользуйтесь «ТЕМАТИЧЕСКИМ ТРЕНИНГОМ»

Задача № 1.
 В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Задача № 2.
 Движение двух тел задано уравнениями  x₁ = 20 – 8t и х₂ = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3.
  Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите:  а) начальную координату тела;  б) проекцию скорости тела;  в) направление движения тела (по оси х или против оси х);  г) запишите уравнение координаты.

Задача № 4.
 На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите:  а) начальную координату;  б) скорость;  в) направление движения;  г) запишите уравнение координаты.

Задача № 5.
 На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6.
 По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t). Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с, скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7.
  ОГЭ
  Расстояние (S) между городами М и К = 250 км. Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч, из города К — со скоростью ν₂ = 40 км/ч. Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8.
   ЕГЭ
 Скорость течения реки v_p = 1 м/с, скорость лодки относительно воды v = 2 м/с. Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м?

Для подготовки к ЕГЭ пользуйтесь «ТЕМАТИЧЕСКИМ ТРЕНИНГОМ»

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к теме: ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное движение с решениями
• Посмотреть конспект по теме КИНЕМАТИКА: вся теория для ОГЭ (шпаргалка)
• Вернуться к Списку конспектов по Физике.
• Проверить свои знания по Физике (ОНЛАЙН-ТЕСТЫ)

Слайд 17 Тестовые задания:1. Превышение одной точки земной поверхности над

другой называется:а) абсолютная высота;б) относительная высота.2. Точка расположена между

одноименными горизонталями, равными 140 м. Чему равна отметка, если это

седловина (h = 2,5 м)а) 138,8 м;б) 141,2 м.3. Точка расположена на дне котловины, изображённой двумя замкнутыми горизонталями, отметка бровки – 130 м. Найти отметку точки (h = 2,5 м)а) 126,2 м;б) 128,8 м.4. Точка расположена на вершине холма, изображённого двумя горизонталями, отметка подошвы — 125 м. Найти отметку точки (h = 2,5 м)а) 126,2 м;б) 128,8 м.5. Относительно какого моря изображается абсолютная высота в России?а) Черного;б) Балтийского.

Вопросы с ответами на свободное падение тел

Вопрос 1. Как направлен вектор ускорения свободного падения?

Ответ: можно просто сказать, что ускорение g направлено вниз. На самом деле, если говорить точнее, ускорение свободного падения направлено к центру Земли.

Вопрос 2. От чего зависит ускорение свободного падения?

Ответ: на Земле ускорение свободного падения зависит от географической широты, а также от высоты h подъема тела над поверхностью. На других планетах эта величина зависит от массы M и радиус R небесного тела. Общая формула для ускорения свободного падения:

Вопрос 3. Тело бросают вертикально вверх. Как можно охарактеризовать это движение?

Ответ: В этом случае тело движется равноускоренно. Причем время подъема и время падения тела с максимальной высоты равны.

Вопрос 4. А если тело бросают не вверх, а горизонтально или под углом к горизонту. Какое это движение?

Ответ: можно сказать, что это тоже свободное падение. В данном случае движение нужно рассматривать относительно двух осей: вертикальной и горизонтальной. Относительно горизонтальной оси тело движется равномерно, а относительно вертикальной – равноускоренно с ускорением g.

Баллистика – наука, изучающая особенности и законы движения тел, брошенных под углом к горизонту.

Вопрос 5. Что значит «свободное» падение.

Ответ: в данном контексте понимается, что тело при падении свободно от сопротивления воздуха.

Определение прямоугольных координат точек

На топографических планах наносится координатная сетка, образующая квадраты со сторонами 10 см. Вертикальные линии сетки параллельны оси абсцисс, а горизонтальные — оси ординат. Координаты вершин квадратов координатной сетки подписываются.
Для быстрого нахождения какой-нибудь точки на топографическом плане указывают нижний левый угол соответствующего квадрата сетки координат.

Пример: запись 79,2 означает, что абсцисса линии сетки Х = 79,2 км, т.е. отстоит по оси Х от начала координат на 79200 м. Запись 66,2 означает, что ордината линии сетки Y = 66,2 км, т.е. отстоит по оси У от начала координат на 66200 м.

Для быстрого нахождения какой-нибудь точки на топографическом плане указывают нижний левый угол соответствующего квадрата сетки координат.

Пример: пользуясь координатной сеткой, циркулем и поперечным масштабом, по топографическому плану можно определить прямоугольные координаты точки А (рис. 4), находящейся в квадрате 79,2 – 66,2. Необходимо помнить, что абсциссы возрастают к северу, а ординаты — к востоку.

Сначала записывают в метрах абсциссу Х (южной) линии квадрата, в котором находится точка А, т.е. Х(южной линии сетки) =79200,0 м. Циркулем и поперечным масштабом определяют расстояние Δх = Y(а)-Y(А) также в метрах с точностью масштаба. Полученную величину Δх=64,8 м прибавляют к абсциссе нижней (южной) линии квадрата Х(южной линии сетки) =79200,0 м и находят абсциссу точки А: Х(А) = 79200,0 + 64,8 = 79264,8 м.

Рис.4

Глава 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

Расстояние d между двумя точками
(,
,
)
и
(,
,
)
в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z
точки М, которая делит отрезок , ограниченный
точками
(,
,
) и
(,
,
), в отношении ,
определяется по формулам

,
,
.

В частности, при имеет координаты
середины данного отрезка:

,
,
.

Даны точки A(1; -2; -3), B(2; -3; 0), C(3; 1;
-9), D(-1; 1; -12). Вычислить расстояние между 1). А и С, 2). B
и D, 3). C и D.

Вычислить
расстояния от начала координат О до точек A(4; -2; -4),
B(-4; 12; 6), C(12; -4; 3), D(12; 16; -15).

Доказать, что
треугольник с вершинами A(3; -1; 2), B(0; -2; 2), C(-3; 2; 1)
равнобедренный.

Доказать, что
треугольник с вершинами A₁(3; -1;
6), A₂(-1; 7; -2), A₃(1; -3; 2) прямоугольный.

Определить, есть ли
тупой угол среди внутренних углов треугольника с
вершинами M₁(4; -1; 4), M₂(0; 7; -4),
M₃(3; 1; -2).

Доказать, что
внутренние углы треугольника M(3; -2; 5), N(-2; 1; -3), P(5; 1;
-1) острые.

На ось абсцисс
найти точку, расстояние от которой до точки А(-3; 4;
равно 12.

На оси ординат
найти точку, равноудаленную отточек А(1; -3; 7) и В(5;
7; -5).

Найти центр C и
радиус R шаровой поверхности, которая проходит
через точку P(4; -1; -1) и касается всех трех
координатных плоскостей.

Даны вершины M₁(3; 2; -5), M₂(1; -4; 3), M₃(-3; 0; 1) треугольника. Найти середины его
сторон.

Даны вершины A(2; -1; 4).
B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его
медианы, проведенной из вершины А.

Центр масс
однородного стержня находится в точке С(1; -1; 5),
один из его концов есть точка A(-2; -1; 7). Определить
координаты другого конца стержня.

Даны две вершины A(2;
-3; -5), B(-1; 3; 2) параллелограмма ABCD и точка
пересечения его диагоналей E(4; -1; 7). Определить
две другие вершины этого параллелограмма.

Даны три вершины A(3;
-4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3) параллелограмма ABCD. Найти его
четвертую вершину D, противоположную B.

Даны три вершины A(3;
-1; 2), B(1; 2; -4), C(-1; 1; 2) параллелограмма ABCD. Найти его
четвертую вершину D.

Отрезок прямой,
ограниченный точками A(-1; 8; 3), B(9; -7; -2), разделен
точками C, D, E. F на пять равных частей. Найти
координаты этих точек.

Определить
координаты концов отрезка, который точками C(2; 0;
2), D(5; -2; 0) разделен на три равные части

Даны вершины
треугольника A(1; 1; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Вычислить
длину биссектрисы его внутреннего угла при
вершине B.

Даны вершины
треугольника A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Вычислить
длину биссектрисы его внутреннего угла при
вершине А.

В вершинах
тетраэдра A(x₁, y₁, z₁),
B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃),
D(x₄, y₄, z₄) сосредоточены
равные массы. Найти координаты центра масс этой
системы.

В вершинах
тетраэдра A₁(x₁, y₁, z₁),
A₂(x_, y₂, z₂), A₃(x₃, y₃,
z₃), A₄(x₄, y₄, z₄) сосредоточены массы m₁, m₂,
m₃, m₄. Найти координаты
центра масс этой системы.

Прямая проходит
через две точки M₁(-1; 6; 6) и M₂(3; -6; -2). Найти
точки ее пересечения с координатными
плоскостями.

Текст издания: Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998Решение задач: 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/