Электросхемы и таблицы истинности
При помощи «0» и «1» можно обозначить, светится ли лампочка, идет ли ток при параллельном или последовательном соединении проводов. Это настолько удобно, что у разных логических функций есть стандартные обозначения при построении электрических схем:
Переменными являются переключатели, а результат (горит лампа/идет ток) будет «1» – истина или «0» – ложь.
Для конъюнкции и инверсии подходит последовательное соединение, но во втором случае переключатель один, для дизъюнкции – параллельное.
Это примеры простейших электросхем. Понимание простейших логических взаимосвязей, умение быстро строить и анализировать электроцепи позволяет строить, паять более сложные, многоуровневые схемы. Для автоматизации применяют различные программы, самый простой вариант – таблицы Excel.
Таблицы и операции
Построить таблицу истинности можно без онлайн калькуляторов. Для этого достаточно запомнить, как работает каждая из перечисленных выше операций. У математиков с этим проблем не возникает – они хорошо заучивают предложенную далее информацию.
Конъюнкция
Носит название «логическое И» или «умножение». Часто встречается в программировании. В языках «создания контента» обладает особым обозначением. Примеры записи:
- И;
- AND;
- &;
- &&.
Выражение логического характера при конъюнкции является истиной, только когда оба простых высказывания тоже выступают в качестве правды. Если хотя бы одно из них – ложь, то вся операция примет значение False.
Выше представлена таблица истинности при операции конъюнкции.
Дизъюнкция
Является сложением. У этого логического выражения есть иное название – «логическое ИЛИ». Тоже встречается в программировании довольно часто.
Может иметь такие формы записи:
- ||;
- ИЛИ;
- OR;
- |.
Преобразование последовательности будет осуществляться по принципу: выражение – истина, если хотя бы одно из его составляющих – правда. Ложно, когда оба элемента имеют значение FALSE.
Выше – примеры таблицы истинности, которая работает в отношении дизъюнкции.
Инверсия
Следующий момент, на который стоит обратить внимание – это инверсия. Носит название «отрицание» или «логическое НЕ»
Обозначения в программировании:
- НЕ;
- !;
- NOT.
Логическое выражение при отрицании обладает следующими особенностями:
- Когда исходные данные истины, то результатом станет ложь.
- Если операция обладает значением «ложь», ее отрицание получит «истину».
- Можно рассматривать соответствующую манипуляцию как трактовку «Неверно, что…»
Вот такую таблицу истинности можно построить относительно инверсии.
Импликация
При любом логическом выводе стоит опираться на предлагаемые примеры и таблицы. Импликация – это следование.
В любом заданном логическом выражении результат – это истина всегда. Исключение – когда из правды следует ложь. Она связывает два высказывания (a и b), где:
- A – это условие, первое выражение;
- B – следствие.
Если из A может следовать B, значит операция выдаст в результате обработки «истину».
Эквивалентность
Так называют равнозначность. Новое высказывание истинно тогда, когда оба простых выражения – это правда.
Выше – пример расчетов формулы логики заданных высказываний при эквивалентности.
Исключение
Онлайн калькуляторы могут помочь построить график или указать, что верно, а что нет, без вдумчивости в поставленную задачу со стороны пользователя. Но программистам приходится прописывать принципы функционирования и выполняемые операции вручную. Для них особенности алгебры логики и информатики крайне важны.
Порядок выполнения логических операций ранее был рассмотрен. Осталось понять, как работает исключение.
Согласно установленным правилам, операция будет истиной, когда среди значений переменных A и B есть одно правдивое. Если оба – это действительность, упомянутый принцип работать не будет.
Исключающее ИЛИ – преобразование, которое носит название «сложение по модулю два».
Алгебра логики и решение задач
Несмотря на то, что логика, как наука о размышлении, существовала еще 5 в. До н.э., теперь это важная часть многих наук, а не только философии и риторики. Также логика существует, как отдельная наука уже более 200 лет.
Инструменты алгебры логики позволяют переводить словесные высказывания в сухие, объективные выражения, а с их помощью выполнять различные логические операции.Появился этот раздел математики 200 лет назад.
Стоит остановиться на базовых понятиях алгебры логики:
- константы (0,1);
- переменные;
- формула;
- знаки операций;
- скобки.
Логическая переменная – обозначение логического выражения, которое может быть true (t, правда, истина, да, 1) – false (f, ложь, нет, 0).
Формула– символьный способ выражения операции между переменными при помощи специальных знаков и скобок ().
Логическое высказывание – утверждение, в котором говорится только правда или только ложь.
Образец таких предложений: «Луна – вертится вокруг Марса» – ложно, а «После зимы всегда приходит весна» – истинно.
Частицы «не», «или», если», «и» и другие, которые являются связующими элементами в обычной речи, позволяют создавать элементарные логические выражения.
Элементарные высказывания – те, к которым нельзя применить понятие истинности или ложности. Их обозначают различными символами (латинские буквы, цифры), знаками. Ими занимаются те сферы, к которым они относятся. Они входят в состав высказываний логики.
Из одних высказываний можно образовывать другие, в результате получая составные высказывания. И от того, являются исходные элементы составного конечного высказывания правдивыми или неправдивыми, а также какие логические связки использовались, будет правдой или ложью все высказывание в целом.
Чтобы образовать такое составное предложение в обычной жизни, используют связки И, ИЛИ, НЕ. А научный подход заменил их на конъюнкцию, дизъюнкцию, инверсию и более сложные операции. Все эти процессы выражают словесно, таблично (таблицы истинности) или графически (диаграммы Эйлера-Венна).
Простые выражения содержат лишь одно выражение (правдивое или нет), и не содержит никаких логических операций.
Сложные могут содержать от 2 и больше аргументов (простых выражений), которые между собой связаны логическими операциями.
Еще используют понятие «предикат» – содержит любое количество переменных без перечисления всех составляющих данных. Это предикат простых, отрицательных P(x)=(x<0) чисел.
Чтобы исключить лишнюю информацию, оставив только логические связи, используют таблицы истинности, наглядно демонстрирующие, правдиво или неправдиво конечное предложение, если учесть все значения входящих в его состав простейших частей.
Такая форма оформления и решения задач используется в построении электросхем, для решения различных логических задач, в булевой алгебре, программировании.
Операторы сравнения
Следует отметить, что в этих примерах получается истинное значение, поскольку условие выполняется. Однако в информатике при построении алгоритмов используются методы ветвления. Они представляют собой такую конструкцию: ЕСЛИ (a>b), ТО a+b. ИНАЧЕ (a*b). Читается запись следующим образом: в том случае, когда значение а больше b, нужно сложить оба числа, а иначе (a Логические операции
Операции логического типа очень часто применяются при построении выражений, используемых в программировании. К ним относятся следующие:
Однако булева алгебра не ограничивается только ими, поскольку существуют и другие их производные. Для каждой из трех составляются определенные таблицы истинности, которые каждый раз необходимо строить для получения результата вычисления логических выражений. Специалисты рекомендуют отдельно на листе картона перечертить таблицы всех логических операций.
Функция конъюнкции
Конъюнкция — операция логического умножения, которая будет истинным при достоверности каждого выражения. Ее обозначение — символ конъюнктора «&». Записывается следующим образом: S&T, где S и T — логические тождества или конкретные значения. Операция имеет такие особенности: только при равенстве всех элементов 1 значение выражения является истинным, а в других случаях — ложью. Для проверки необходимо составить таблицу значений логического тождества:
| S | T | S&T |
| F | ||
| 1 | F | |
| 1 | F | |
| 1 | 1 | T |
Таблица 1. Значение функции в зависимости от логических переменных.
Из таблицы 1 видно, что выражение S&T принимает только TRUE при всех истинных значениях переменных. Если рассматривать алгебру, то можно провести аналогию между логическим и обыкновенным умножениями. Например, произведение двух чисел S*T, которые для удобства сравнения принимают значения 0 или 1.
Информация о дизъюнкции
В булевой алгебре операция логического сложения называется дизъюнкцией. Обозначается она символом, который называется дизъюнктором (V или I). Логическое тождество, содержащее два элемента, имеет такой вид: SVT. Операция имеет только ложное значение при равенстве S и T нулю. Для нее нужно также строить специальную таблицу:
Таблица 2. Истинность операции дизъюнкции SVT.
Операция аналогична сложению в алгебре, хотя имеются некоторые отличия. Чтобы убедиться в этом, требуется выполнить определенное действие — построить специальную таблицу результатов для алгебраического сложения нулей и единиц.
Если рассмотреть результаты в последнем случае, то можно сделать вывод о схожести сложения и дизъюнкции. Однако в последней строке алгебраической суммы есть некоторое несоответствие — 2. Это показывает, какое переполнение разряда происходит в булевой алгебре. В последней происходит переход с одного разряда в другой.
Булево отрицание
В алгебре логики применяется также операция отрицания, которую также называют инверсией. Суть ее заключается в том, что при истинном значении выражения под знаком инверсии получается ложный результат, а при ложном — истина. Обозначается она символом инверсии «¬», а записывается в таком виде ¬(S). Для демонстрации операции необходимо ознакомиться с таблицей:
| Исходное выражение, S | Результат, ¬(S) |
| T | |
| 1 | F |
Таблица 3. Истинность ¬(S).
Например, если необходимо указывать несколько тождеств логического вида, то при помощи отрицания можно использовать только одно. Для примера необходимо написать, что число не равно 0: (t 0). При использовании логического отрицания условие выглядит короче: t=!0.
Приоритеты вычислений
При решении выражений булевского типа, как и в алгебре, существуют определенные приоритеты. Каждая операция обладает определенным из них. Наибольшей степенью пользуется конъюнкция, средней — дизъюнкция. Наименьшим приоритетом обладает логическое отрицание. Однако эту особенность можно поменять при помощи группировки элементов в выражениях, которая производится скобками. С учетом этих особенностей алгоритм решения тождества имеет следующий вид:
Иногда бывают задачи, в которых следует упрощать выражение. Для этой цели следует знать некоторые особенности:
Этих правил достаточно для упрощения булевского выражения. Следует отметить, что перед построением булевской таблицы требуется с самого начала упростить исходное тождество.
Использование специальных символов на клавиатуре для набора конъюнкции
Для набора символа конъюнкции на клавиатуре можно использовать несколько специальных сочетаний клавиш. В зависимости от операционной системы и программ, с которыми вы работаете, доступные варианты могут незначительно отличаться.
Вот некоторые из наиболее распространенных способов набрать символ конъюнкции:
- Использование сочетания клавиш «Ctrl» + «&» (амперсанд). Нажмите и удерживайте клавишу «Ctrl», затем нажмите клавишу «&». В результате символ конъюнкции (&) будет вставлен в ваш текст.
- Использование специального кода символа. В HTML-коде символ конъюнкции представляется с помощью сущности «&». Если вы работаете с HTML-редактором или веб-страницей, вы можете вставить символ конъюнкции, например, с помощью кода «&».
- Использование встроенной веб-панели символов. Некоторые операционные системы и программы имеют встроенные панели символов, которые позволяют вам выбирать и вставлять специальные символы без использования клавиш. Найдите панель символов в вашей операционной системе или программе и найдите символ конъюнкции в списке доступных символов.
Помните, что доступные способы набора символа конъюнкции могут зависеть от вашего устройства, операционной системы и программного обеспечения. В случае возникновения проблемы с набором символа конъюнкции, обратитесь к документации или поддержке вашего устройства или программного обеспечения.
Понятие о науке «Логика»
Цель урока
: дать основные понятия логики, рассмотреть основные этапы развития логики, как науки.
Ход урока
:
Объяснение нового материала:
Слово логика
обозначает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления или обозначает науку о правилах рассуждения и тех формах, в которых оно осуществляется. Логика изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира, исследует формы и законы, в которых происходит отражение мира в процессе мышления. Основными формами абстрактного мышления являются:
- ПОНЯТИЯ,
- СУЖДЕНИЯ,
- УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.
ПОНЯТИЕ
— форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов: портфель трапеция ураганный ветер
СУЖДЕНИЕ
— мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. Суждения являются повествовательными предложениями, истинными или ложными. Они могут быть простыми и сложными: Весна наступила, и грачи прилетели.
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
— прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение. Есть несколько видов умозаключений. Все металлы — простые вещества. Литий — металл. Литий — простое вещество.
Чтобы достичь истины при помощи умозаключений, надо соблюдать законы логики.
ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА
— наука о законах и формах правильного мышления.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода. (В книгах какого писателя хорошо рассказано о дедуктивном методе?)
Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.
Этапы развития логики
1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384- 322 гг. до н. э.). Он пытался найти ответ на вопрос «как мы рассуждаем», изучал «правила мышления». Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы — понятие, суждение, умозаключение и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формальной стороны. Так возникла формальная логика.
2-й этап — появление математической или символической логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646-1716). Он попытался построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками и привел правила. Но Лейбниц высказал только идею, а развил ее окончательно англичанин Джордж Буль
(1815- 1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Недаром начальный раздел математической логики называют алгеброй логики, или булевой алгеброй. (по этапам развития логики можно дать сообщение на дом)
д/з
конспекты, сообщение о расследовании Шерлока Холмса
Риска над буквой (Макрон) в Microsoft Office Word
Как поставить над буквой риску? Вроде мелочи, но не каждый знает, как это сделать. Где используется такая риска? Например, в химических или математических формулах. Рассмотрим, как поставить значок электрона, например 4е̄.
Примеры показаны на Microsoft Office 2016, но должны также работать и на других версиях.
Первый способ — более длинный. Переходим в «Вставка → Уравнение». Появится область под названием «Место для уравнения». Если область не активна — щелкните на нее левой клавишей мыши. Должен открыться «Конструктор» с различными формулами.
Нам нужны «Диакритические знаки» (см. скриншот ниже)
Выбираем знак с риской, нажав на него. Остается на место пустого символа написать нужную букву или цифру — в нашем случае букву е.
Второй способ. Ставим курсор после символа, над которым нужно написать данный знак. Идем в «Вставка → Символ → Другие символы → объединенные диакр. знаки» и ищем нужный знак. Можно значительно быстрее: напротив «Код знака» вводим цифры 0304 (чтобы быстро найти нужный) и нажимаем «Вставить».
Если вы часто пользуетесь данным знаком, то можно настроить сочетание «горячих» клавиш для быстрой вставки. Для этого нажимаем «Сочетание клавиш» и в поле «Новое сочетание клавиш» пишем, например, ctrl + m, тогда нажимаем «Назначить», а потом «Закрыть». Теперь при нажатии клавиши ctrl и не отпуская ее m будет вставлен символ.
Третий способ. Последний способ самый быстрый. Для этого пишем нужную букву, ставим курсор за ней, и держа клавишу alt на дополнительной цифровой клавиатуре (клавиша num lock должна быть включена) набираем 772. Готово. Если набрать вместо 772 — 773, то риска будет немного выходить за символ.
Примечания[править | править код]
- ↑ , с. 264—266, 534—536.
- . // Website Online Etymology Dictionary. Дата обращения: 7 февраля 2016.
- , с. 67.
- Стяжкин Н. И. . Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 508 с. — С. 321, 348, 352, 368.
- . // Website Jeff Miller Web Pages. Дата обращения: 7 февраля 2016.
- , с. 30.
- Пратт Т. . Языки программирования: разработка и реализация. — М.: Мир, 1979. — 574 с. — С. 352, 439.
- Грогоно П. . Программирование на языке Паскаль. — М.: Мир, 1982. — 384 с. — С. 51.
- Вегнер П. . Программирование на языке Ада. — М.: Мир, 1983. — 240 с. — С. 68.
- Эллис М., Строуструп Б. . Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4. — С. 65, 86—87.
- Яблонский С. В. . Введение в дискретную математику. — М.: Наука, 1979. — 272 с. — С. 9—10, 37.
- Рвачёв В. Л. . Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — 552 с. — С. 38, 66.
- ↑ Словарь по кибернетике. 2-е изд / Под ред. В. С. Михалевича. — Киев: Украинская советская энциклопедия, 1989. — 751 с. — ISBN 5-88500-008-5.
Ход урока
1. Организационный момент.
Цель: подготовить учащихся к уроку.
Объявляется тема урока. Перед учащимися ставится задача: показать, как они научились решать задачи по теме.
2. Повторение изученного материала.
Выполнение в тестирующей оболочке MyTest теста на тему «Основные понятия алгебры логики».(приложение1.mtf)
3. Изучение нового материала.
Вопросы для изучения:
- Простые и сложные выражения.
- Основные логические операции.
При объяснении нового материала используется компьютерная презентация (презентация.
PPT)
1. Простые и сложные выражения.
Логические выражения могут быть простыми и сложными.
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».
Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.
2. Основные логические операции.
По ходу объяснения нового материала ученики заполняют в тетради таблицу следующего вида.
|
Название логической операции |
Обозначение логической операции |
Результат выполнения логической операции |
Таблица истинности |
Примеры |
| Отрицание | ||||
| Дизъюнкция | ||||
| Конъюнкция | ||||
| Импликация | ||||
| Эквиваленция |
В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:
-
НЕ
(логическое отрицание, инверсия); -
ИЛИ
(логическое сложение, дизъюнкция); -
И
(логическое умножение, конъюнкция)
Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)
Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:
- если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
- если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения: НЕ, ‾, ˥ not А. Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности.
Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)
Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами.
Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
| А | В | A v В |
| 1 | 1 | |
| 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 |
Применяемые обозначения: А или В; A v В; А ог В. При выполнении сложных логических преобразований для наглядности условимся пользоваться обозначением А + В, где А, В — аргументы (исходные высказывания).
Операция И — логическое умножение (конъюнкция)
Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение.
Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
| А | В | А^ В |
| 1 | ||
| 1 | ||
| 1 | 1 | 1 |
Применяемые обозначения: А и В; А ^ В; А & В; A and В.
Условимся пользоваться при выполнении сложных логических преобразований обозначением A-В, где А, В — аргументы (исходные высказывания).
Операция «ЕСЛИ
—
TO
— логическое следование (импликация)
Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А-»В.
Результат операции следования (импликации) ложен, только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Таблица истинности:
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)
Применяемое обозначение: А ~
В.
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Таблица истинности:
| А | В | А ~ В |
| 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 1 | ||
| 1 | 1 | 1 |
Скажите был ли сегодняшний урок для вас познавательный?
Что больше всего запомнилось из урока?
6. Домашнее задание
- Учебник. п.23.2., заполнить таблицу «Логические операции» до конца.
-
Выполнить задание
(приложение 3) - Подготовиться к тестированию.
- Знать ответы на вопросы:
- какие высказывания бывают;
- какие высказывания называются простыми, а какие – сложными;
- основные логические операции и их свойства.
- Понятие о науке «Логика».
- Логические операции.
- Логика.
Учитель: Дерябина И. Н.
Чтобы лучше понять тему
В сети сделано и размещено немало калькуляторов, при помощи которых можно судить об истинности высказываний. Но хороший программист должен самостоятельно уметь производить соответствующие подсчеты. Операцией логического характера не является выражение, результатом которого не выступает:
- понимание смысла;
- изменение содержания или объема;
- образование новых понятий.
Логическое выражение в программировании обычно предусматривает работу с операторами:
- XOR;
- IF;
- IF…Else.
А для того, чтобы лучше понимать соответствующую тему, рекомендуется пройти онлайн курсы дистанционно. Они помогут быстрее вникнуть в особенности программирования, коддинга и выбранных языков. По выпуску ученику будет выдан сертификат, указывающий на наличие знаний в выбранном направлении. Так логическое выражение и упомянутые ранее операции не доставят никаких хлопот даже новичку-разработчику.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!
Также, возможно, вам будет интересен следующий курс: